数学领域中希尔伯特第十问题相关的研究进展。从希尔伯特提出23个关键问题的宏大愿景说起，其中他认为数学是“完备的”这一假设，然而哥德尔和图灵等人的研究打破了这一梦想。之后重点聚焦希尔伯特第十问题，即关于丢番图方程是否有整数解能否有通用算法判断，1970年被证明是不可判定的。接着讲述数学家在探寻这个问题在不同解范围下的转折点，新的研究证明对于整数之外的大量重要数集，同样不存在确定丢番图方程是否有解的通用算法，还介绍了这些新证明的核心思路以及背后数学家们的探索历程。
数学的世界充满了神秘莫测的未知角落，诸多难以解决的问题隐匿其中。如今，又一个未知角落被揭示。1900年，大名鼎鼎的数学家大卫·希尔伯特列出了一份包含23个关键问题的清单，旨在为下个世纪的数学研究指引方向。这份清单不仅仅是数学领域的路线图，更体现了一个更为宏伟的目标——构建一个坚实的基础，让所有的数学真理都能以此为依据进行推理。这一愿景极为宏大，其中一个关键之处在于假定数学是“完备的”，也就是说，所有的数学陈述都应当能被证明为真或者为假。然而到了1930年代，库尔特·哥德尔证明这是无法实现的：在任何数学系统里，都存在既不能证明也不能证伪的陈述。几年之后，艾伦·图灵等人基于哥德尔的成果表明，数学中到处都是“不可判定”的陈述，也就是任何计算机算法都无法解决的问题。这些结果都表明，证明和计算的能力存在根本性的限制，有些数学知识是人类永远无法知晓的。希尔伯特的梦想破碎了，但它的影响依旧留存。他所提出的那些问题仍然会让人联想到他的愿景，使得“完备数学”的理念在更狭窄的范畴内得以存续。在这些问题之中，第十问题尤为重要，它与丢番图方程（也叫不定方程）相关。丢番图方程指的是拥有整数系数的多项式，例如x² + y² = 5。我们对这类方程并不陌生，它们也是数学领域的核心研究对象之一。数千年来，数学家们一直在寻找它们的整数解。就像在这个例子中，x = 1，y = 2就是一个解（因为1² + 2² = 5），还有x = 2，y = -1也是。[此处插入大卫·希尔伯特的图片]像x² + y² = 3等很多丢番图方程可能没有任何整数解。希尔伯特的第十问题是：是否总能判断给定的丢番图方程是否有整数解？是否存在一种算法可以确定每个方程的解，还是说这个问题是不可判定的？也许无法为所有数学问题找到一种完备而系统的求解方法，甚至可能无法解决希尔伯特的所有23个问题，但对于丢番图方程，也许仍然存在一种求解方法，这可以看作是希尔伯特理想的一个缩小版。乌得勒支大学的Peter Koymans表示：“这个问题是那个梦想的一个非常自然的版本。”1970年，一位名叫Yuri Matiyasevich的俄罗斯数学家打破了这个梦想。他的研究显示，并不存在一种能够确定任何给定的丢番图方程是否有整数解的通用算法，这就意味着希尔伯特第十问题是一个不可判定的问题。或许你能构思出一种可以评估大多数方程的算法，但它无法适用于所有方程。哪怕是在这种最简单的数学中，也隐藏着不可知性。[此处插入Yuri Matiyasevich 1969年的照片]数学家们想要检验Matiyasevich结论的适用范围。例如，如果允许丢番图方程有复数解（能用实部和虚部表示的数字，且不限于整数）会怎样呢？在这种情况下，每个丢番图方程都有一个解，希尔伯特第十问题的答案就是肯定的。但是，在解必须是整数的方程和解可以是复数的方程之间，丢番图方程还存在很大的范围。哈佛大学的Barry Mazur说：“对于整数，它是不可求解的，然后当扩展到更大的数字系统时，可能会突然变得可解。但这个转折点在哪里呢？”自希尔伯特第十问题被解决的50年以来，数学家们一直在寻找这个转折点。现在，Koymans和他长期合作的伙伴、蒙特利尔康考迪亚大学的Carlo Pagano，以及另一组独立研究的团队朝着这个目标迈出了重要的一步。这两个小组都证明，对于整数之外的大量重要数集，同样不存在可以确定任意给定的丢番图方程是否有解的通用算法。这两项工作不仅让数学家们能更精准地了解他们能知道什么和不能知道什么，还让他们对数学中最核心的对象之一有了全新的掌控能力。[此处插入两篇论文相关的图片]从整数开始扩展这些新证明的核心是希尔伯特第十问题的一种自然扩展。这个扩展涉及的丢番图方程的解属于一个与整数密切相关的数字系统。那么问题来了：是否存在一种算法，可以总是确定给定丢番图方程的解是否属于某个整数环呢？数学家们猜想，对于每一个整数环（也就是无限多个数字系统），这个问题仍然是不可判定的。这将使这个结论远远超出希尔伯特第十问题最初的整数范围。为了证明这一点，他们希望沿着原始问题的证明路径前行，也就是仅涉及整数解的问题。一般而言，不可判定性证明（确定是否存在可以回答给定问题的通用算法的证明）遵循相同的方法：证明相关问题等同于计算机科学中一个著名的不可判定问题，即停机问题。停机问题是指：对于一个理想的计算设备（被称为图灵机），当给定某个输入时，这个设备是会永远运行还是最终会停止？现在人们已经知道，不存在一个能够为每台图灵机解答这个问题的算法。也可以把丢番图方程看作计算设备。以方程y = x²为例，它有无穷多个整数解。只要给x代入不同的整数并求解y，得到的值都属于一个著名的整数集：完全平方数。我们很容易就能想象出一个能执行其等效任务的计算机程序（也就是图灵机）：“计算完全平方数的序列”。其他丢番图方程也可以编码成其他类型的计算。[此处插入Julia Robinson的照片]为了解决希尔伯特最初的第十问题，数学家们以这个想法为基础展开了研究。Julia Robinson等人在1950年左右开始研究，最终汇聚成了1970年Matiyasevich的成果。研究结果表明，对于每一个图灵机，都有一个对应的丢番图方程。智利天主教大学的Hector Pasten说：“这完全出乎意料，基于整数的丢番图方程足以定义你能想象到的任何东西。”此外，数学家们还建立了一种巧妙的对应关系：如果图灵机因为给定输入而停止，其对应的丢番图方程就会有一个整数解；如果图灵机永远运行，其对应的丢番图方程就没有解。但这意味着希尔伯特第十问题编码了停机问题：如果一种算法可以根据是否有整数解对丢番图方程进行分类，那么这个算法也可以用于根据是否会停机对图灵机进行分类。换句话说，希尔伯特第十问题是不可判定的。数学家们希望采用同样的方法来证明这个问题扩展的整数环版本，但他们遇到了一个障碍。将研究成果黏合起来[此处插入相关图片]但在1988年，纽约大学的一名研究生Sasha Shlapentokh开始想办法解决这个问题。到2000年，她和其他一些研究者制定了一个计划。假设你要给y = x²添加一些其他项，从而能迫使x再次为整数，即便要使用不同的数字系统。然后，你就可以挽救与图灵机的对应关系了。那所有丢番图方程都能这样做吗？如果可以，那就意味着希尔伯特问题可以在新的数字系统中编码停机问题。多年来，Shlapentokh等数学家弄清楚了他们必须在各种环的丢番图方程中添加哪些项，这使他们能够证明希尔伯特问题在这些设定下仍然无法判定。然后，他们将所有剩余的整数环归结为一种情况：涉及虚数i的环。数学家们意识到，在这种情况下，必须添加的项可以使用一类名为椭圆曲线的特殊方程来确定。但椭圆曲线必须满足两个属性。首先，它需要有无限多个解；其次，如果切换到不同的整数环，也就是从数字系统中移除虚数，那么该椭圆曲线的所有解都必须保持相同的底层结构。事实证明，构建这样一条适用于所有剩余环的椭圆曲线是一项极其微妙和困难的任务。但Koymans和Pagano——从研究生阶段就开始密切合作的椭圆曲线专家——拥有合适的工具集来进行尝试。许多个不眠之夜从本科开始，Koymans就一直在思考希尔伯特第十问题。在就读研究生以及与Pagano合作期间，这个问题一直萦绕在他心头。Koymans说：“我每年都会花几天时间思考这个问题，但总是陷入困境。我尝试了三种方法，但都失败了。”2022年，在加拿大班夫举行的一次会议上，他和Pagano最终谈到了这个问题。他们希望能够一起构建出解决这个问题所需的特殊椭圆曲线。在完成了其他一些项目后，他们开始了研究。[此处插入Peter Koymans的照片]他们从一个简单的椭圆曲线方程开始，这个方程不满足任何所需的属性。他们知道可以使用一种名为二次扭曲（这是他们已经研究了近十年的东西）的成熟技术来调整方程，使其满足第一个条件。他们只需将方程的一个变量乘以一个特定的数字，就会得到一条有无限多个解的新椭圆曲线。但这给他们留下了一个问题。他们无法保证这条新曲线满足第二个性质，也就是对于相差一个虚数的环，其解看起来会很相似。数学家们需要更好地控制二次扭曲。他们陷入了困境。Koymans说：“我有一种不好的感觉，我开始怀疑我们遗漏了什么东西。”然后，在2024年夏天，在研究另一个问题时，两人不得不再次使用二次扭曲。一天晚上，在这项研究过程中，Koymans躺在床上睡不着，无法停止思考希尔伯特第十问题。Koymans意识到，另一项工作给了他们一个重要的提示，即那些有时会出现的奇怪且惊人的数学一致性：如果他们在二次扭曲中使用的数字恰好是三个素数的乘积，那么他们就能获得保证第二个性质所需的控制权。但是，由于他们的椭圆曲线必须精心构建并满足很多规范，所以对这三个素数的取值有很多额外的限制。Koymans和Pagano能找到可行的素数吗，不管对于哪个整数环？几天后，Pagano碰巧计划访问当时Koymans工作的瑞士苏黎世联邦理工学院。接下来的一周，他们一起在黑板上努力寻找满足所有限制的素数。最后，他们发现必须使用四个素数而不是三个素数来构建所需的二次扭曲。这使得他们能够应用一种来自完全不同的数学领域的方法，即加性组合学，以确保每个环都存在正确的素数组合。这就是最后一部分：他们构建了所需的椭圆曲线。这为他们提供了向丢番图方程添加项所需的方法，这使他们能够将图灵机（以及停机问题）编码到这些方程中，而不管他们使用什么数字系统。一切都解决了。希尔伯特第十问题对于每个整数环都是不可判定的。上周四，在Koymans和Pagano在线发布他们的论文不到两个月后，结果得到了进一步巩固。一个由四名数学家组成的独立团队宣布了对同一结果的新证明。他们没有寻找特殊的椭圆曲线，而是依靠一种不同类型的方程来完成同样的工作。这两个团队都希望利用他们的技术（这些技术使他们对椭圆曲线和相关方程有了前所未有的控制）在其他问题上取得进展。普林斯顿大学数学家、第二个证明的作者之一Manjul Bhargava说：“这两种方法有可能结合起来做更多的事情。”与此同时，对不可判定性终结以及可判定性开始的位置的探索还没有结束：数学家们正在新的环境中继续探索希尔伯特第十问题。蒙特利尔大学的Andrew Granville认为，这只是众多问题中的一个，这些问题“反映了世界哪些部分为真的哲学方面”。所有知识都有极限。Granville说：“它提醒我们，有些事情是无法做到的——无论你是谁，无论你有怎样的身份或才智。”
希尔伯特第十问题相关的数学研究历程，从最初的提出到后续关于其不可判定性的证明，以及数学家们对其在不同数集范围下的探索，特别是新的研究在整数环中的证明过程，体现了数学领域中人类对知识边界不断探索以及认识到数学知识存在极限的情况。
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